Нужно ли назначать H1 в блоке, который виден только на мобильных?

Тег H1 строго должен быть на странице только один. 

Если вы дублируете блок и делаете для него другие настройки видимости, то код этого блока все равно содержится на странице и виден для поисковых машин. Поэтому если у вас два одинаковых блока, проверьте, что во втором не назначен H1.